Bilangan Real

 

Pengertian Bilangan Real

Bilangan riil atau bilangan real adalah sistem bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk desimal. Angka desimal adalah angka berbasis 10 yang dibentuk dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ahli matematika mendefinisikan notasi bilangan real sebagai simbol ℝ.

 

Macam Macam Bilangan Real

• Bilangan Rasional

Yang pertama kali akan kita bahas adalah bilangan rasional. Bilangan rasional sendiri adalah sebuah bilangan yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk sembarang pecahan ab , dengan beberapa ketentuan seperti, a dan b adalah bilangan bulat di mana bilangan a melambang kan pembilang dan b merupakan penyebut bilangan rasional, dan b ≠ 0

Contoh :

 

• Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah sistem bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b namun dapat ditulis dalam bentuk desimal. Misalnya:

π (phi) = 3,14159 26535 89793 …
e (euler) = 2,7182818….

• Bilangan Bulat Positif

Bilangan bulat positif adalah bilangan yang bernilai positif dan dimulai dari bilangan satu ke atas dan seterusnya. Contoh bilangan bulat positif adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya

• Bilangan Bulat Negatif

Bilangan bulat negatif adalah bilangan yang dimulai dari bilangan negatif satu ke bawah dan seterusnya. Contoh bilangan bulat negatif adalah -1, -2, -3, -4, -5, dan seterusnya

• Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan merupakan bilangan yang terdiri atas dua angka, yakni angka sebagai pembilang dan angka sebagai pembagi atau penyebut.Bilangan pecahan mempunyai bentuk a/b, di mana a disebut sebagai pembilang, dan b disebut sebagai penyebut dan nilainya tidak boleh 0.Nilai a dan b dalam bilangan pecahan juga saling prima, artinya tidak ada faktor/pembagi yang bisa membagi a dan b sekaligus.

 Contoh:

• Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}, atau himpunan bilangan asli ditambah 0. Bilangan cacah selalu tidak bertanda negatif.

• Bilangan Nol

0 (dibaca nol atau kosong) adalah suatu angka dan digit angka yang digunakan untuk mewakili angka dalam angka. Angka nol memainkan peranan penting dalam matematika sebagai identitas tambahan bagi bilangan bulat, bilangan real, dan struktur aljabar lainnya.

• Bilangan Genap

Pengertian bilangan genap adalah bilangan-bilangan yang akan habis jika dibagi menjadi 2. Contohnya: Ge = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ….

• Bilangan Ganjil

Pengertian bilangan ganjil adalah bilangan yang jika dibagi 2 maka akan tersisa 1 atau bilangan yang dapat dinyatakan dengan 2n-1 dengan n adalah bilangan bulat. Contohnya: Ga = {-3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, …. }

• Bilangan Prima

Pengertian bilangan prima adalah bilangan yang tidak dapat dibagi oleh bilangan lainnya kecuali bilangan itu sendiri dan 1. Contohnya: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …..}

• Bilangan Komposit

Pengertian bilangan komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 tapi bukan termasuk dalam bilangan prima. Contohnya: K = {4, 6, 8, 9, 10, 12, ….}

Sifat Sifat Bilangan Real

 Jika a, b, dan c merupakan elemen dari himpunan real, maka berlaku sifat sifat berikut

 

Keterangan:

1.   Tertutup: operasi perkalian dan penjumlahan bilangan real menghasilkan bilangan real.

2.   Asosiatif: penjumlahan atau perkalian tiga buah bilangan real yang dikelompokkan secara berbeda mempunyai hasil yang sama.

3.   Komutatif: pertukaran letak angka pada penjumlahan dan perkalian bilangan real mempunyai hasil sama.

4.   Unsur identitas: operasi perkalian dan penjumlahan setiap bilangan real dengan identitasnya dapat menghasilkan bilangan real itu sendiri.

o    Identitas penjumlahan termasuk bilangan real yaitu 0

o    Identitas perkalian termasuk bilangan real yaitu 1

5.   Mempunyai Invers: setiap bilangan real mempunyai nilai invers real terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, suatu bilangan real yang dioperasikan dengan invers menghasilkan unsur identitasnya.

6.   Sifat Distributif: penyebaran 2 operasi hitung yang berbeda, salah satu operasi hitung berfungsi sebagai operasi penyebaran dan operasi lainnya digunakan untuk menyebarkan bilangan yang dikelompokan dalam tanda kurung.

7.   Tidak ada pembagi nol: pembagian bilangan real dengan nol menghasilkan nilai tidak terdefinisi (undefined).

pembahasan soal pertidaksamaan

Pembahasan soal nilai mutlak

jenis-jenis fungsi 

Fungsi dalam istilah matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain).

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil.

Ada beberapa jenis fungsi, yaitu :

1 Fungsi konstan (fungsi tetap)

Suatu fungsi f : A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan. Contoh : f(x) = 5

2 Fungsi linear

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. Contoh f(x) = 3x + 5

3 Fungsi identitas

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri.

Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama.

4 Fungsi kuadrat

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola. Contoh : f(x) = 2x² + 3x - 1

5 Fungsi tangga

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.

6 Fungsi mutlak (modulus)

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

f : x → | x | atau f : x → | ax + b |

f(x) = | x | artinya : f(x) = -x jika x < 0 dan f(x) = x jika x ≥ 0

7 Fungsi ganjil dan fungsi genap

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi ini bukan genap dan bukan ganjil.

grafik fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi polinom yang memiliki peubah/variabel dengan pangkat tertingginya adalah 2 (dua).

Secara umum fungsi kuadrat memiliki bentuk umum seperti berikut ini:

f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0

dengan f(x) = y yang merupakan variabel terikat, x adalah variabel bebas, sedangkan a, dan b merupakan koefisien dan c adalah suatu konstanta.

Hal ini tentunya berbeda dengan yang dinamakan persamaan kuadrat, yang mana persamaan kuadrat memiliki variabel dengan pangkat tertingginya adalah dua dan berbentuk persamaan.

Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

dengan x adalah variabel bebas, a dan b adalah koefisien, serta c adalah konstanta.

Kembali ke materi fungsi kuadrat. Suatu fungsi sangat erat hubungannya dengan grafik fungsi.

Begitu pula fungsi kuadrat, yang memiliki grafik fungsinya sendiri. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola yang dapat digambarkan menggunakan langkah-langkah tertentu.

 

Sifat Grafik Fungsi Kuadrat

Ada beberapa sifat dari grafik fungsi kuadrat yang bisa Anda ketahui. Pertama, grafik terbuka. Grafik ini ditentukan oleh nilai a untuk menentukan hasil ke arah atas atau bawah. Jika a > 0 maka hasil grafik menunjukkan ke atas, sementara jika a < 0, maka akan menghasilkan hasil ke bawah atau negatif.

Sifat kedua dari grafik fungsi kuadrat adalah titik puncak. Apabila grafik menunjukkan hasil ke bawah, maka titik puncaknya berada di titik maksimum. Sementara jika grafik terbuka mengarah ke atas, maka titik puncaknya minimum. Ada lagi sifat grafik berupa sumbu simetri yang akan membagi grafik menjadi dua bagian di titik puncak.

ada cara yang dapat digunakan untuk menentukan gambaran umum dari grafik sebuah persamaan kuadrat dengan cara melihat nilai determinannya. Nilai Determinan dari sebuah fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c adalah D = b2 – 4ac. Determinan dapat digunakan untuk menyelidiki berapa banyak akar yang dimiliki sebuah persamaan kuadrat. Selain itu, determinan dapat digunakan untuk menentukan jenis akar yang dimiliki suatu persamaan kuadrat.

1 Jika D > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda (artinya, grafik akan memotong sumbu x pada dua titik).

2 Jika D = 0 maka persamaan kudrat memiliki dua akar real kembar (artinya, grafik akan memotong sumbu x pada satu titik).

3 Jika D < 0 maka persamaan kuadrat memiliki akar yang imaginer/tidak real/akar negatif (artinya, grafik tidak memotong sumbu x).

 

Nilai   (koefisien dari  ) dapat memberi gambaran grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas atau ke bawah. Karakteristik grafik berdasarkan nilai  :

1.     Jika a > 0 maka grafik akan terbuka ke atas.

2.     Jika a < 0 maka grafik akan terbuka ke bawah.

Contoh: 

·       Titik potong sumbu x à y = 0

Titik potong sumbu y à x = 0

·       Titik puncak

Gambar grafiknya:

Limit fungsi

Pengertian Limit Fungsi
Limit fungsi adalah perilaku suatu fungsi mendekati suatu nilai tertentu. Jika suatu fungsi memetakan hasil f(x) untuk setiap nilai x, maka fungsi tersebut memiliki limit dimana x mendekati suatu nilai untuk f(x).
Dalam matematika, limit dapat dikatakan sebagai prediksi nilai ordinat yang didapat pada suatu titik. Nilai limit diperoleh dengan pendekatan dari sisi kanan dan sisi kiri. Jika nilai limit dari kiri sama dengan nilai limit dari kanan maka fungsi f(x) mempunyai nilai limit.